Calcul poteau acier EC3 : Flambement et compression

Résistance de section en compression et coefficients partiels

La clause 6.2.4(1)P impose que la valeur de calcul de l’effort de compression NEd satisfasse dans chaque section transversale la condition de non-dépassement de la résistance de calcul. Celle-ci vaut Nc,Rd = A fy / γM0 pour les sections de Classe 1, 2 ou 3, expression (6.10), et Nc,Rd = Aeff fy / γM0 pour les sections de Classe 4, expression (6.11), où Aeff est l’aire efficace déterminée selon l’EN 1993-1-5.

Les coefficients partiels viennent de la clause 6.1(1) : γM0 pour la résistance des sections transversales quelle que soit leur classe, γM1 pour la résistance des barres aux instabilités évaluée par vérifications de barres, γM2 pour la rupture des sections en traction. La NOTE 2B recommande pour les bâtiments γM0 = 1,00, γM1 = 1,00 et γM2 = 1,25 ; l’annexe nationale française, homologuée le 31 août 2013, indique à sa clause 6.1(1) Note 2B que « les valeurs à utiliser sont les valeurs recommandées ». Ce sont donc ces valeurs qui s’appliquent en France. La limite d’élasticité fy se lit dans le Tableau 3.1 : pour un acier EN 10025-2 d’épaisseur t ≤ 40 mm, fy vaut 235 N/mm² en S235, 275 en S275, 355 en S355 et 440 en S450 ; entre 40 et 80 mm, ces valeurs tombent respectivement à 215, 255, 335 et 410 N/mm².

Deux dispenses utiles figurent dans la norme. La clause 6.2.4(3) indique qu’excepté dans le cas de trous oblongs et surdimensionnés au sens de l’EN 1090, il n’est pas nécessaire de prendre en compte les trous de fixation dans les barres comprimées, sous réserve qu’ils soient remplis par les fixations. La clause 6.3.1.1(4) ajoute qu’il n’est pas nécessaire de prendre en compte les trous de fixation situés aux extrémités des poteaux pour la détermination de A et Aeff.

Classer la section : en compression uniforme, les limites sont beaucoup plus serrées

La classification obéit aux mêmes règles que pour une poutre (clause 5.5.2(3) sur le rapport largeur-épaisseur, clause 5.5.2(6) sur la classe la plus défavorable des parois comprimées) mais les limites du Tableau 5.2 sont nettement plus sévères en compression uniforme qu’en flexion. Une paroi comprimée interne relève de la Classe 1 tant que c/t ≤ 33 ε, de la Classe 2 jusqu’à 38 ε et de la Classe 3 jusqu’à 42 ε, alors que la même paroi fléchie disposerait respectivement de 72 ε, 83 ε et 124 ε. Pour une semelle en console entièrement comprimée, les limites sont 9 ε, 10 ε et 14 ε.

Avec ε = √(235 / fy), le Tableau 5.2 tabule ε = 1,00 pour fy = 235 N/mm², 0,92 pour 275, 0,81 pour 355, 0,75 pour 420 et 0,71 pour 460. Un poteau reconstitué qui passe de S235 à S355 voit donc la limite de Classe 3 de son âme comprimée tomber de 42 à 34 environ. La clause 5.5.2(8) rappelle qu’une paroi ne satisfaisant pas la limite de Classe 3 est de Classe 4, ce qui bascule le calcul sur les aires efficaces de l’EN 1993-1-5.

Un cas particulier mérite attention : la clause 5.5.2(10) précise que lorsque la résistance d’une barre aux instabilités est vérifiée selon la section 6.3, il convient de toujours prendre pour la Classe 3 les proportions limites du Tableau 5.2. La tolérance de la clause 5.5.2(9), qui permet de traiter certaines sections de Classe 4 comme des Classe 3 en majorant les limites, ne s’applique donc pas à la vérification au flambement.

Le cœur du calcul : élancement réduit, courbe de flambement, coefficient χ

La vérification s’écrit NEd / Nb,Rd ≤ 1,0, expression (6.46), avec Nb,Rd = χ A fy / γM1 pour les Classes 1, 2 et 3, expression (6.47), et Nb,Rd = χ Aeff fy / γM1 pour la Classe 4, expression (6.48). Le passage de γM0 à γM1 marque le changement de nature de la vérification : on n’évalue plus une résistance de matière mais une stabilité de barre.

Le coefficient de réduction se calcule par χ = 1 / [Φ + √(Φ² − λ̄²)] avec χ ≤ 1,0, expression (6.49), où Φ = 0,5 [1 + α (λ̄ − 0,2) + λ̄²]. Le facteur d’imperfection α est donné par le Tableau 6.1 : 0,13 pour la courbe a0, 0,21 pour la courbe a, 0,34 pour la courbe b, 0,49 pour la courbe c et 0,76 pour la courbe d. L’élancement réduit vaut λ̄ = √(A fy / Ncr) pour les Classes 1, 2 et 3, et se calcule aussi par la voie géométrique λ̄ = (Lcr / i) × (1 / λ1), expression (6.50), avec λ1 = π √(E / fy) = 93,9 ε. Lcr est la longueur de flambement dans le plan considéré et i le rayon de giration par rapport à l’axe approprié, déterminé sur les propriétés de section brute.

Le choix de la courbe se fait avec le Tableau 6.2, en fonction du type de section, du rapport h/b, de l’épaisseur de semelle tf, de l’axe de flambement et de la nuance. Pour les nuances S235 à S420 et une section en I laminée de rapport h/b > 1,2 avec tf ≤ 40 mm, la courbe est a selon y-y et b selon z-z ; avec 40 mm < tf ≤ 100 mm, elle devient b selon y-y et c selon z-z. Pour h/b ≤ 1,2 et tf ≤ 100 mm, la courbe est b selon y-y et c selon z-z ; au-delà de tf = 100 mm, c’est la courbe d dans les deux axes. Les sections en I soudées avec tf ≤ 40 mm relèvent des courbes b et c. Les sections creuses finies à chaud relèvent de la courbe a quel que soit l’axe, celles formées à froid de la courbe c.

La clause 6.3.1.2(4) donne le seuil en deçà duquel le flambement n’est plus dimensionnant : pour λ̄ ≤ 0,2, ou pour NEd / Ncr ≤ 0,04, les effets du flambement peuvent être négligés et seules les vérifications de sections transversales s’appliquent. C’est le cas des poteaux très courts et très trapus, et c’est aussi une bonne façon de contrôler qu’un résultat de calcul n’est pas aberrant.

Flambement par torsion, par flexion-torsion, et interaction avec la flexion

La clause 6.3.1.4(1) avertit que dans le cas de barres à sections transversales ouvertes, il convient de considérer la possibilité que la résistance au flambement par torsion ou par flexion-torsion soit inférieure à la résistance au flambement par flexion. L’élancement réduit correspondant se détermine par λ̄T = √(A fy / Ncr) pour les Classes 1, 2 et 3, expression (6.52), et λ̄T = √(Aeff fy / Ncr) pour la Classe 4, expression (6.53), avec Ncr = Ncr,TF mais Ncr inférieur à Ncr,T. La clause 6.3.1.4(3) précise que la courbe de flambement à retenir est celle relative à l’axe z tirée du Tableau 6.2.

Dès qu’un effort normal coexiste avec un moment fléchissant (ce qui est la situation courante d’un poteau d’ossature), la vérification relève de la clause 6.3.3 et de ses facteurs d’interaction kij. Sur ce point, l’annexe nationale française exerce un choix national explicite à sa clause 6.3.3(5) : « la méthode de référence choisie est la méthode 1 », c’est-à-dire l’Annexe A de la NF EN 1993-1-1. La méthode alternative 2 de l’Annexe B peut être utilisée dans les conditions qu’elle définit ; par simplification, elle est admise pour les barres à sections en I doublement symétriques, qui doivent alors toujours être considérées comme sensibles à la torsion. L’annexe nationale ajoute deux restrictions fermes : la courbe a0 ne doit pas être utilisée dans le cas de l’application de l’Annexe B, et l’Annexe B n’est pas applicable lorsque l’effort normal critique de flambement par torsion ou par flexion-torsion est inférieur aux deux efforts normaux critiques de flambement par flexion.

Dans ce dernier cas, l’annexe nationale impose une vérification supplémentaire au titre de l’Annexe A : lorsque Ncr,T est inférieur à Ncr,y et à Ncr,z, il convient d’appliquer la condition (6.62) de la norme en remplaçant le coefficient de réduction χz par χT et le coefficient µz par µT dans le calcul des coefficients kzy et kzz. Elle borne aussi inférieurement les facteurs de moment uniforme équivalent du Tableau A.2 par Cmi,0 ≥ 1 − NEd / Ncr,i. Ces dispositions ne figurent pas dans la norme européenne : elles sont propres à l’application française.

Enchaînement complet de la vérification d’un poteau acier

• 1. Établir le schéma statique réel du poteau : conditions de liaison en tête et en pied, présence de contreventements, existence de maintiens intermédiaires selon chaque axe.
• 2. En déduire la longueur de flambement Lcr selon y-y et selon z-z, qui ne sont presque jamais égales.
• 3. Lire fy dans le Tableau 3.1 en fonction de la nuance et de l’épaisseur nominale de la paroi, puis calculer ε = √(235 / fy) et λ1 = 93,9 ε.
• 4. Classer la section en compression uniforme avec le Tableau 5.2, en retenant les limites de Classe 3 dès lors qu’une vérification selon 6.3 est conduite, clause 5.5.2(10).
• 5. Calculer l’élancement réduit λ̄ = (Lcr / i) × (1 / λ1) selon chaque axe, et vérifier le seuil de la clause 6.3.1.2(4).
• 6. Choisir la courbe de flambement dans le Tableau 6.2 selon le type de section, h/b, tf, l’axe et la nuance, puis lire α dans le Tableau 6.1.
• 7. Calculer Φ puis χ par l’expression (6.49) pour chaque axe, et retenir le χ le plus faible.
• 8. Calculer Nb,Rd par l’expression (6.47) ou (6.48) avec γM1, et vérifier NEd / Nb,Rd ≤ 1,0.
• 9. Examiner le flambement par torsion ou flexion-torsion pour les sections ouvertes, clause 6.3.1.4, puis l’interaction avec la flexion selon la clause 6.3.3 et l’Annexe A retenue par l’annexe nationale.
• 10. Vérifier les déplacements horizontaux en tête de poteau au regard du Tableau 2 de l’annexe nationale, clause 7.2.2(1)B, puis faire valider l’ensemble par un bureau d’études structure.

Exemple 1 : Coefficient de réduction χ d’un poteau S235, avec double contrôle de l’élancement

Hypothèses géométriques posées : aire de section A = 5 000 mm², rayon de giration selon l’axe faible iz = 50 mm, longueur de flambement Lcr = 4,00 m selon ce même axe. Section en I laminée de rapport h/b ≤ 1,2 avec tf ≤ 100 mm, acier S235 d’épaisseur inférieure à 40 mm.

Voie géométrique, expression (6.50) : fy = 235 N/mm² d’après le Tableau 3.1, donc ε = √(235 / 235) = 1,00 et λ1 = 93,9 × 1,00 = 93,9. L’élancement géométrique vaut Lcr / iz = 4 000 / 50 = 80,0, d’où λ̄z = 80,0 / 93,9 = 0,852.

Contrôle par la voie mécanique : l’inertie correspondante vaut I = A iz² = 5 000 × 50² = 12 500 000 mm⁴. L’effort critique de flambement élastique, que l’Eurocode définit sans le réécrire à la clause 6.3.1.2(1), s’obtient par l’expression classique d’Euler Ncr = π² E I / Lcr² = 9,870 × 210 000 × 12 500 000 / 4 000², avec E = 210 000 N/mm² d’après la clause 3.2.6(1). Le numérateur vaut 2,591 × 10¹³ et le dénominateur 1,6 × 10⁷, d’où Ncr ≈ 1 619 000 N, soit 1 619,2 kN. Alors λ̄z = √(A fy / Ncr) = √(1 175 000 / 1 619 000) = √0,726 = 0,852. Les deux voies concordent, ce qui valide la chaîne de calcul.

Choix de la courbe et calcul de χ : pour une section en I laminée avec h/b ≤ 1,2, tf ≤ 100 mm et une nuance S235, le Tableau 6.2 renvoie à la courbe c selon z-z, à laquelle le Tableau 6.1 associe α = 0,49. D’où Φ = 0,5 × [1 + 0,49 × (0,852 − 0,2) + 0,852²] = 0,5 × [1 + 0,319 + 0,726] = 0,5 × 2,045 = 1,023. Puis χ = 1 / [1,023 + √(1,023² − 0,852²)] = 1 / [1,023 + √(1,046 − 0,726)] = 1 / (1,023 + 0,566) = 1 / 1,589 = 0,630.

Résistances : Nc,Rd = A fy / γM0 = 5 000 × 235 / 1,00 = 1 175 000 N, soit 1 175,0 kN. Nb,Rd = χ A fy / γM1 = 0,630 × 1 175,0 = 740,3 kN environ. Le flambement retire donc 37 % de la capacité de la section.

Exemple 2 : Monter en nuance ne rapporte pas ce qu’on croit

Hypothèses : même géométrie que l’exemple 1, même longueur de flambement, mais acier S355 d’épaisseur inférieure à 40 mm. La limite d’élasticité passe de 235 à 355 N/mm² d’après le Tableau 3.1, soit une augmentation de 51 %.

L’élancement, lui, se dégrade : ε = √(235 / 355) = 0,81 d’après le Tableau 5.2, donc λ1 = 93,9 × 0,81 = 76,1. L’élancement réduit devient λ̄z = 80,0 / 76,1 = 1,052 au lieu de 0,852. La courbe reste c avec α = 0,49 selon les Tableaux 6.2 et 6.1.

Calcul : Φ = 0,5 × [1 + 0,49 × (1,052 − 0,2) + 1,052²] = 0,5 × [1 + 0,417 + 1,107] = 0,5 × 2,524 = 1,262. Puis χ = 1 / [1,262 + √(1,262² − 1,052²)] = 1 / [1,262 + √(1,593 − 1,107)] = 1 / [1,262 + √0,486] = 1 / (1,262 + 0,697) = 1 / 1,959 = 0,510.

Résistance au flambement : Nc,Rd = 5 000 × 355 / 1,00 = 1 775,0 kN et Nb,Rd = 0,510 × 1 775,0 = 905,3 kN environ. Le gain réel par rapport aux 740,3 kN de l’exemple 1 est de 22 % seulement, alors que la limite d’élasticité a progressé de 51 %. La raison est mécanique : le flambement élastique dépend de E et de la géométrie, pas de fy, et E est identique pour toutes les nuances selon la clause 3.2.6(1). Sur un poteau élancé, augmenter l’inertie est plus efficace que monter en nuance.

Exemple 3 : Où se situe le seuil au-delà duquel le flambement compte

La clause 6.3.1.2(4) permet de négliger les effets du flambement pour λ̄ ≤ 0,2 ou pour NEd / Ncr ≤ 0,04. Traduisons ce seuil en longueur, avec les hypothèses de l’exemple 1.

En S235, λ1 = 93,9. La condition λ̄ = (Lcr / iz) / λ1 ≤ 0,2 donne Lcr / iz ≤ 0,2 × 93,9 = 18,8, soit avec iz = 50 mm une longueur de flambement Lcr ≤ 18,8 × 50 = 939 mm, c’est-à-dire environ 0,94 m. Autrement dit, au-delà d’un mètre de longueur de flambement selon l’axe faible, un poteau de cette géométrie est déjà concerné par la vérification au flambement.

En S355, λ1 = 76,1 et la même condition donne Lcr ≤ 0,2 × 76,1 × 50 = 761 mm, soit environ 0,76 m. Le seuil se resserre encore. Cet exercice explique pourquoi, en pratique, la quasi-totalité des poteaux de bâtiment relèvent de la section 6.3 et non de la seule section 6.2.

Dernier point de vigilance : ces trois exemples ne traitent que l’axe faible. La clause 6.3.1.1(1) impose de vérifier la barre pour le mode de flambement approprié, ce qui suppose de conduire le calcul selon y-y et selon z-z avec les longueurs de flambement propres à chaque plan. Un poteau maintenu latéralement à mi-hauteur dans un seul plan a deux élancements très différents, et c’est le χ le plus faible qui gouverne.

Textes de référence pour un poteau en acier

• NF EN 1993-1-1 (P 22-311-1), Eurocode 3, partie 1-1 : sections 5.5 classification, 6.2.4 compression, 6.3.1 barres comprimées, 6.3.3 flexion composée, Annexes A et B pour les facteurs d’interaction, Annexe BB pour les longueurs de flambement d’éléments de bâtiments.
• NF EN 1993-1-1/NA (P 22-311-1NA), août 2013, annexe nationale : clauses 6.1(1), 5.2.1(3), 5.2.2(8), 5.3.2(3), 5.3.4(3), 6.3.3(5), 6.3.4(1) et 7.2.2(1)B notamment.
• NF EN 1993-1-5 (P 22-315) et son annexe nationale, plaques planes : aire efficace Aeff des sections de Classe 4.
• NF EN 1993-1-8 (P 22-318-1) et son annexe nationale, assemblages : pieds de poteaux, platines, et coefficients partiels de la clause 2.2(2).
• NF EN 1990 et son annexe nationale, combinaisons d’actions et coefficients partiels sur actions, préalable indispensable à la détermination de NEd.
• NF EN 1998 et son annexe nationale, dimensionnement parasismique, qui impose ses propres exigences de ductilité et de dimensionnement en capacité aux poteaux.

Ce que l’annexe nationale française tranche sur les poteaux

Le choix le plus lourd de conséquences est celui de la clause 6.3.3(5) : la France retient la méthode 1, celle de l’Annexe A, comme méthode de référence pour les facteurs d’interaction en flexion composée. La méthode 2 de l’Annexe B reste utilisable dans les conditions définies par l’annexe nationale, avec les facteurs kij du Tableau B.2 et les coefficients Cmi du Tableau B.3, mais avec deux interdits explicites : pas de courbe a0, et pas d’application de l’Annexe B lorsque l’effort normal critique de flambement par torsion ou par flexion-torsion est inférieur aux deux efforts critiques de flambement par flexion.

L’annexe nationale précise aussi le régime des analyses globales. À sa clause 5.2.1(4)B, elle rappelle que le respect du critère (5.1) implique que les effets du second ordre globaux peuvent être négligés, ce qui autorise l’analyse au premier ordre et permet, conformément au point b) de la clause 5.2.2(7), de vérifier la résistance des barres avec une longueur de flambement dans le plan de la structure au plus égale à leur longueur d’épure. À sa clause 5.2.2(8), elle restreint le domaine de la méthode d’amplification à l’analyse élastique de structures à nœuds déplaçables de type poteau-poutre satisfaisant les conditions des clauses 5.2.2(5)B et 5.2.2(6)B, et impose alors de vérifier la résistance des poteaux selon 6.3 avec les longueurs de flambement à nœuds déplaçables.

Deux dispositions complémentaires méritent d’être connues. La clause 5.3.4(4) de l’annexe nationale impose, lorsque l’imperfection e0 d’une barre est utilisée pour vérifier sa résistance au moyen d’une analyse au second ordre, de vérifier les sections transversales selon 6.2 mais en utilisant γM1 au lieu de γM0. La clause 6.3.4(1) restreint, sauf justification particulière, l’application de la méthode générale à l’analyse globale élastique, le facteur de ruine en plan αult,k devant être déterminé dans ce cadre.

Déplacements horizontaux en tête de poteau

Le Tableau 2 de l’annexe nationale, clause 7.2.2(1)B, donne des valeurs limites recommandées de flèches horizontales, à comparer aux valeurs calculées à partir des combinaisons caractéristiques. Pour les bâtiments industriels à niveau unique sans pont roulant et à parois non fragiles, le déplacement en tête de poteaux est limité à H/150 et le déplacement différentiel en tête entre deux portiques consécutifs à Li/150. Pour les autres bâtiments à niveau unique sans pont roulant (ceux qui présentent des exigences particulières d’étanchéité, de fragilité des parois, d’aspect, de confort ou d’utilisation), ces limites deviennent Hi/250 et Li/200.

Pour les bâtiments industriels à plusieurs niveaux sans pont roulant et à parois non fragiles, l’annexe nationale retient Hi/200 entre chaque étage, et pour la structure dans son ensemble H/200 si H ≤ 20 m, H/(100 + 5H) pour 20 m < H ≤ 40 m et H/300 si H > 40 m. Pour les autres bâtiments à plusieurs niveaux sans pont roulant, les valeurs sont Hi/300 entre chaque étage, et H/300 si H ≤ 10 m, H/(200 + 10H) pour 10 m < H ≤ 30 m et H/500 si H > 30 m. Hi désigne la hauteur du poteau, de l’étage ou du montant de bardage, H la hauteur totale de la structure et Li la distance entre deux portiques consécutifs ou la longueur d’une lisse.

L’annexe nationale précise que dans le cas de parois fragiles la valeur limite de flèche horizontale peut être supérieure lorsque les dispositions constructives adoptées pour les liaisons des parois à l’ossature le permettent, et que pour les portiques avec ponts roulants il faut se reporter à la NF EN 1993-6/NA. Comme pour les flèches verticales, ces valeurs sont des recommandations : la clause 7.1 renvoie à l’accord entre le client et le concepteur.