Méthode de calcul : variables, unités et longueur de flambement
La vérification d’un poteau comprimé ne commence pas par la résistance des matériaux mais par sa géométrie de flambement. Tant que l’élancement n’est pas calculé, on ne sait pas si l’on a affaire à un poteau court, où la résistance de section suffit, ou à un poteau élancé, où les effets du second ordre commandent le dimensionnement. C’est cette bifurcation qui structure toute la Section 5.8 de l’Eurocode 2.
Les variables et leurs unités
NEd est l’effort normal de calcul, en kilonewtons (kN), issu des combinaisons d’actions de l’Eurocode 0. b et h sont les dimensions de la section rectangulaire en mètres, h étant l’épaisseur mesurée dans la direction du flambement ; D est le diamètre d’une section circulaire. Ac est l’aire de béton et As la section totale d’armatures longitudinales, en mètres carrés ou en millimètres carrés.
l est la hauteur libre du poteau et l0 sa longueur de flambement, en mètres. λ est l’élancement, grandeur sans dimension. Le FD P18-717 définit, en 5.8.5 (1) NOTE, deux grandeurs complémentaires : « ρ = As / b · h : pourcentage d’armatures longitudinales totales, pour une section rectangulaire » et « δ = d’ / h : enrobage relatif », où d’ est la distance des armatures longitudinales à la paroi la plus proche.
fcd et fyd sont les résistances de calcul. Le FD P18-717 les écrit, dans le cadre de cette même méthode simplifiée, « ƒcd = ƒck / γc » et « ƒyd = ƒyk / γS ».
La longueur de flambement l0
Le FD P18-717 donne une valeur directement exploitable pour le cas courant. En 5.8.3.2 (2) - Figure 5.7 - Bâtiments - (II), il indique que « la longueur libre de flambement des poteaux d’étages courants des bâtiments, lorsque leur raideur n’est pas prise en compte dans le contreventement et pour autant qu’ils soient correctement connectés en tête et en pied à des éléments de raideur supérieure ou égale, peut être représentée par l0 = 0,7 l ».
Encore faut-il mesurer l correctement. Le même document précise en 5.8.3.2 (3) que « la longueur l, dite hauteur libre de 5.8.3.2 (3), s’entend entre dessus de dalle inférieure et sous-face de dalle supérieure, si les éléments s’opposant au flambement, dans la direction considérée, sont des dalles, sinon, entre dessus de plancher inférieur et sous-face de poutre du plancher supérieur ». Confondre la hauteur d’étage et la hauteur libre fausse l’élancement dès la première ligne.
L’élancement λ
Le FD P18-717 donne, en 5.8.5 (1) NOTE, deux expressions explicites : « λ = Lo · √12 / h : élancement, pour une section rectangulaire de côté h dans la direction du flambement » et « λ = 4 Lo / D : élancement, pour une section circulaire de diamètre D ».
Ces deux formules ne comportent aucun paramètre national : elles sont purement géométriques et se vérifient à la calculatrice. Elles constituent le premier filtre du dimensionnement, avant toute considération de matériau.
Domaine d’emploi de la méthode simplifiée
Le FD P18-717 propose, en 5.8.5 (1) NOTE, une formule enveloppe pour « les poteaux rectangulaires ou circulaires courants de bâtiments » à extrémités articulées non déplaçables, présentée dans son Tableau 3. Cette formule n’est pas reproduite ici : elle figure sous forme d’image dans le document consulté.
- poteau bi-articulé sous charges centrées ;
- élancement λ ≤ 120 ;
- 20 MPa ≤ fck ≤ 50 MPa ;
- épaisseur dans la direction du flambement h ≥ 0,15 m ;
- distance d’ des armatures longitudinales à la paroi la plus proche ≤ min {0,30 h ; 100 mm} ;
- armatures symétriques, par moitié sur chaque face ;
- chargement à au moins 28 jours.
- À défaut de connaître ρ et δ, le FD indique qu’« il peut être pris à titre conservatoire : kh = 0,93 ».
Trois exemples chiffrés entièrement vérifiables
Les exemples ci-dessous n’utilisent, comme valeurs normatives, que celles lues dans une clause identifiée et citée : l0 = 0,7 l, les deux expressions de λ, le domaine d’emploi de la méthode simplifiée, la borne fyk ≤ 500 MPa de l’annexe nationale, γS = 1,15, et les règles de recouvrement du FD P18-717. Les dimensions et les charges sont des hypothèses de travail.
Exemple 1 — Élancement d’un poteau rectangulaire
Hypothèses : poteau de section 300 × 300 mm, hauteur libre l = 3,00 m, poteau d’étage courant correctement connecté en tête et en pied, dont la raideur n’est pas prise en compte dans le contreventement.
Longueur de flambement, selon 5.8.3.2 (2) - (II) du FD P18-717 : l0 = 0,7 × 3,00 = 2,10 m.
Élancement, selon 5.8.5 (1) NOTE : λ = l0 × √12 / h = 2,10 × 3,4641 / 0,300 = 7,2746 / 0,300 = 24,25.
Contrôle du domaine d’emploi : λ = 24,25 ≤ 120, et h = 0,300 m ≥ 0,15 m. Les deux conditions géométriques sont satisfaites.
Lecture : c’est l’épaisseur dans la direction du flambement qui pilote λ, pas la surface de la section. Un poteau 200 × 450 mm, de surface identique à 300 × 300, flambe selon 0,200 m et atteindrait λ = 2,10 × 3,4641 / 0,200 = 36,37, soit la moitié en plus.
Exemple 2 — Poteau circulaire et enrobage relatif
Hypothèses : poteau circulaire de diamètre D = 400 mm, hauteur libre l = 3,00 m, mêmes conditions de liaison que précédemment, donc l0 = 0,7 × 3,00 = 2,10 m.
Élancement, selon la seconde expression de 5.8.5 (1) NOTE : λ = 4 l0 / D = 4 × 2,10 / 0,400 = 8,40 / 0,400 = 21,0.
Contrôle de la position des armatures : la condition du FD est d’ ≤ min {0,30 h ; 100 mm}. Avec une dimension de 0,400 m dans la direction considérée, 0,30 × 400 = 120 mm, donc le minimum vaut 100 mm : la distance des barres à la paroi la plus proche ne doit pas dépasser 100 mm.
Disposition constructive complémentaire : le FD P18-717 indique en 9.5.2 (4) que « pour les poteaux de section circulaire, il est recommandé de prévoir au moins six barres longitudinales, réparties sur le contour de la section ». La méthode simplifiée du Tableau 3 est d’ailleurs établie, pour les sections circulaires, sur cette hypothèse de six barres réparties.
Exemple 3 — Contribution des aciers et longueur de recouvrement
Hypothèses : poteau 300 × 300 mm, soit Ac = 90 000 mm², armé de 4 barres de diamètre 16 mm. Section d’une barre : π × 8² = 201,06 mm², donc As = 4 × 201,06 = 804,25 mm².
Pourcentage d’armatures longitudinales, selon la définition de 5.8.5 (1) NOTE : ρ = As / (b · h) = 804,25 / 90 000 = 0,00894, soit 0,89 %.
Contrainte de calcul de l’acier, avec fyk = 500 MPa (borne de 3.2.2 (3)P NOTE de l’annexe nationale) et γS = 1,15 (5.2 (7) a de la NF EN 1992-1-2) : fyd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa. Contribution des aciers : 804,25 × 434,78 = 349 672 N, soit 349,7 kN.
La contribution du béton, Ac × fcd, ne peut pas être chiffrée ici : elle suppose la valeur de γC et celle de αcc, que nous ne publions pas. C’est une limite assumée, et elle est instructive — le calcul d’un poteau ne se boucle pas sans l’annexe nationale et sans le Tableau 2.1N.
Recouvrement des attentes : le FD P18-717 indique en 8.7.3 (1) - (II) que pour un poteau armé à sa section minimale d’armatures longitudinales, « le coefficient α6 vaut bien 1,5 et lb,rqd = 0 », de sorte qu’il convient de retenir l0,min = max {15 ϕ ; 200 mm}. Avec des barres de 16 mm : 15 × 16 = 240 mm, supérieur à 200 mm, donc l0,min = 240 mm.
Cadre normatif et paramètres déterminés au niveau national
Comme pour toute vérification Eurocode, il faut savoir d’où vient chaque chiffre. La norme européenne NF EN 1992-1-1 pose la méthode ; l’annexe nationale NF EN 1992-1-1/NA fixe les paramètres déterminés au niveau national ou déclare retenir les valeurs recommandées ; le FD P18-717, guide d’application, ajoute des méthodes admises et des interprétations. Sur les poteaux, l’annexe nationale renvoie beaucoup aux valeurs recommandées, ce qui rend la lecture de la norme européenne indispensable.
Textes de référence
- NF EN 1992-1-1 — Eurocode 2, partie 1-1 : Section 5.8 pour les effets du second ordre, Section 6.1 pour la flexion composée, Section 9.5 pour les dispositions constructives des poteaux.
- NF EN 1992-1-1/NA (P 18-711-1/NA) — annexe nationale française : imperfections géométriques, λlim, armatures minimale et maximale, armatures transversales.
- FD P18-717 — guide d’application : longueur de flambement des poteaux d’étages courants, expressions de l’élancement, méthode simplifiée du Tableau 3, recouvrements.
- NF EN 1992-1-2 (P 18-712-1) — comportement au feu, dont la clause 5.2 (7) rappelle γs = 1,15.
- NF EN 1990 — Eurocode 0 et son annexe nationale, pour les combinaisons d’actions produisant NEd.
Ce que l’annexe nationale fixe sur les poteaux
L’annexe nationale française fixe un point directement chiffré et souvent ignoré : en 5.2 (1)P, elle indique que « les valeurs données en 6.1 (4) ne concernent pas le calcul de stabilité. Pour le calcul de stabilité, les imperfections géométriques ne peuvent pas être inférieures à 20 mm ». Un poteau n’est donc jamais calculé parfaitement centré.
Sur les autres paramètres de la Section 5.8, elle renvoie aux valeurs recommandées : en 5.8.3.1 (1) NOTE pour λlim, en 5.8.3.3 (1) et (2) NOTE 1 pour les coefficients k1 et k2, et en 5.8.5 (1) NOTE 1 elle précise que « les méthodes simplifiées d’analyse à utiliser sont les méthodes (a) et (b) recommandées ». Elle ajoute en 5.8.4 (2) qu’« il y a lieu de tenir compte des imperfections géométriques dans le calcul des moments M0Eqp et M0Ed ».
Sur les dispositions constructives des poteaux, l’annexe nationale renvoie également aux valeurs recommandées : en 9.5.2 (1) NOTE pour le diamètre minimal ϕmin, en 9.5.2 (2) NOTE pour As,min donnée par l’Expression (9.12N), en 9.5.2 (3) NOTE pour As,max, et en 9.5.3 (3) NOTE pour l’espacement maximal des armatures transversales scl,tmax. Ces valeurs ne sont pas reproduites ici.
Effets du second ordre : la structure du calcul
Lorsque le critère d’élancement n’est pas satisfait, il faut passer par les effets du second ordre. Le FD P18-717 rappelle en 5.8.8.2 la structure du calcul : « le moment de calcul vaut MEd = M0Ed + M2 (Expression (5.31) de 5.8.8.2 (1)) » avec « M0Ed = NEd · e1, moment du premier ordre incluant les imperfections géométriques », et « M2 = NEd · e2 = NEd · (1 / r) · l0² / c où c dépend du choix de la forme de la déformée, par exemple, c = π² dans le cas d’une courbure sinusoïdale (Expression (5.33) de 5.8.8.2 (3)) ».
Le FD précise également le périmètre d’emploi des expressions d’élancement : celles de 5.8.3.2 (3) « ne concernent que les éléments isolés ou pouvant être considérés comme isolés » et servent à déterminer l’élancement à comparer à λlim, « cette comparaison est appelée le critère d’élancement ». Pour les éléments participant à la stabilité d’ensemble en tant qu’élément d’un portique de contreventement, il convient de mener l’analyse selon la méthode générale visée en 5.8.5 et décrite en 5.8.6.
Ce que nous ne publions pas
Nous ne publions pas la formule du Tableau 3 du FD P18-717, qui donne l’effort normal limite ultime des poteaux courants : elle figure sous forme d’image dans le document consulté. Nous ne publions pas non plus γC, αcc pour béton courant, le Tableau 2.1N, la valeur de λlim, l’Expression (9.12N) donnant As,min, la valeur de As,max, ni celle de scl,tmax : sur tous ces points l’annexe nationale renvoie aux valeurs recommandées de la norme européenne, que nous n’avons pas pu lire mot à mot.
Ce choix a une conséquence pratique assumée : la vérification chiffrée complète d’un poteau ne peut pas être bouclée sur cette page. Elle peut l’être sur la géométrie, l’élancement, le domaine de validité et les dispositions de recouvrement, ce qui suffit largement à cadrer une conception et à repérer un poteau mal proportionné bien avant l’étude d’exécution.
Poteaux comprimés et maîtrise d’œuvre
Sur un projet, la section d’un poteau est presque toujours arbitrée avant le calcul : elle sort d’une trame, d’une contrainte d’aménagement, d’une exigence de gabarit ou d’un souhait architectural. Le rôle de la maîtrise d’œuvre est de faire remonter le plus tôt possible la conséquence structurelle de ces arbitrages, parce qu’ils se traduisent directement en élancement. Un poteau que l’on affine de 300 à 200 mm dans la direction du flambement voit son élancement croître de moitié, ce qui peut le faire basculer du poteau court au poteau élancé et changer complètement la nature du calcul.
Progineer intervient sur cette articulation : cadrage des trames et des sections avec l’architecte et le maître d’ouvrage, identification des poteaux critiques et des cas de liaison réels, coordination du bureau d’études structure qui produit la note de calcul, puis contrôle en phase d’exécution des points qui décident vraiment — position des armatures par rapport aux parois, longueurs de recouvrement des attentes, respect des enrobages. Le calculateur sert à objectiver ces discussions en conception, pas à les remplacer.
En réhabilitation et en surélévation, la question devient celle de la reprise : le poteau existant peut-il encaisser la charge supplémentaire, et dans quel état sont ses armatures ? Le FD P18-717 traite le cas de la vérification d’une construction existante dans son Annexe A et rappelle que le coefficient de conversion η = 0,85 de l’Annexe A.2.3 (1) de l’Eurocode 2 « s’applique sur le coefficient partiel γC », et qu’il se distingue du coefficient 0,85 de la NF EN 13791 appliqué aux résultats d’essais sur carottes. Autrement dit, on n’évalue pas un poteau existant sans essais et sans diagnostic structurel préalable.
Glossaire technique
- Élancement λ
- Grandeur sans dimension caractérisant l’aptitude d’un poteau au flambement. Le FD P18-717 la donne par λ = L0 √12 / h pour une section rectangulaire et λ = 4 L0 / D pour une section circulaire.
- Longueur de flambement l0
- Longueur équivalente du poteau bi-articulé de même charge critique. Le FD P18-717 admet l0 = 0,7 l pour les poteaux d’étages courants correctement connectés en tête et en pied.
- Hauteur libre l
- Distance entre dessus de dalle inférieure et sous-face de dalle supérieure lorsque les éléments s’opposant au flambement sont des dalles ; sinon entre dessus de plancher inférieur et sous-face de poutre du plancher supérieur.
- Critère d’élancement
- Comparaison de l’élancement calculé à la valeur limite λlim de 5.8.3.1. Le FD P18-717 nomme explicitement cette comparaison ainsi. Elle décide si les effets du second ordre doivent être pris en compte.
- Effets du second ordre
- Amplification des sollicitations due à la déformation de la structure sous charge. Ils se traduisent par un moment additionnel M2 qui s’ajoute au moment du premier ordre M0Ed.
- Imperfections géométriques
- Défauts de verticalité et d’implantation pris en compte forfaitairement dans le calcul. L’annexe nationale française impose, pour le calcul de stabilité, une valeur au moins égale à 20 mm.
- Pourcentage d’armatures ρ
- Rapport de la section totale d’armatures longitudinales à l’aire de la section de béton, défini par ρ = As / (b · h) pour une section rectangulaire dans la méthode simplifiée du FD P18-717.
- Enrobage relatif δ
- Rapport δ = d’ / h entre la distance des armatures longitudinales à la paroi la plus proche et l’épaisseur du poteau. Il intervient dans la méthode simplifiée, qui borne d’ à min {0,30 h ; 100 mm}.
- Élément isolé
- Poteau que l’on peut traiter séparément de la structure au sens de 5.8.1. Les éléments participant à la stabilité d’ensemble d’un portique de contreventement n’en relèvent pas et exigent la méthode générale de 5.8.6.
- Coefficient α6
- Coefficient majorant la longueur de recouvrement selon la proportion de barres recouvertes au même endroit. Le FD P18-717 retient α6 = 1,5 dans le cas classique où 100 % des barres sont en recouvrement, courant en pied de poteau.
