Flexion simple béton armé

Les variables du problème et leurs unités

MEd est le moment fléchissant de calcul à l’état limite ultime, en kilonewtons-mètres (kN.m). Il résulte de la combinaison d’actions établie selon l’Eurocode 0 et son annexe nationale, et non d’un chargement brut.

b est la largeur de la section comprimée et h sa hauteur totale, en mètres. d est la hauteur utile, distance entre la fibre la plus comprimée et le centre de gravité des armatures tendues, en mètres : c’est d, et non h, qui travaille. z est le bras de levier du couple interne, en mètres. As est la section d’armatures tendues, en centimètres carrés ou en mètres carrés selon l’échelle de travail.

fck est la résistance caractéristique en compression du béton sur cylindre, en mégapascals (MPa), et fyk la limite d’élasticité caractéristique de l’acier, en MPa. fcd et fyd en sont les valeurs de calcul, obtenues en divisant par les coefficients partiels relatifs aux matériaux.

Résistances de calcul : ce que fixe l’annexe nationale française

L’annexe nationale NF EN 1992-1-1/NA, en 2.4.2.4 (1) NOTE, indique que les coefficients partiels relatifs aux matériaux à utiliser aux états-limites ultimes sont ceux recommandés dans le Tableau 2.1N de la norme européenne. En 2.4.2.4 (2) NOTE, elle retient de même les valeurs recommandées pour les états-limites de service.

Pour l’acier de béton armé, la valeur est explicitement rappelée dans une autre partie de l’Eurocode 2 : la NF EN 1992-1-2, en 5.2 (7) a, écrit « γs est le coefficient partiel de sécurité pour l’acier de béton armé ; γs = 1,15 (voir la section 2 de l’EN 1992-1-1) », valeur reprise en 5.2 (4). On peut donc écrire fyd = fyk / 1,15.

L’annexe nationale borne par ailleurs la nuance utilisable : en 3.2.2 (3)P NOTE, « la valeur maximale de fyk à utiliser est 500 MPa en général et 600 MPa sous réserve d’une justification effective à l’ELS, y compris de l’ouverture des fissures (voir Tableau 7.1NF) ». Avec fyk = 500 MPa, il vient fyd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa.

Pour le béton, la résistance de calcul s’écrit fcd = αcc × fck / γC. L’annexe nationale, en 3.1.6 (1)P NOTE, retient pour αcc la valeur recommandée sans la réécrire ; αcc est défini comme « un coefficient tenant compte des effets à long terme sur la résistance en compression et des effets défavorables résultant de la manière dont la charge est appliquée » (formulation reprise en 3.1.6 (1) de la NF P18-710, qui fixe αcc = 0,85 pour les seuls BFUP). Ni αcc pour béton courant ni γC ne sont reproduits ici.

Le bras de levier et la section d’acier

La détermination rigoureuse de z passe par l’équilibre de la section et le diagramme des déformations. Le FD P18-717 admet toutefois une simplification explicite et récurrente : en 6.2.1 - (V), il indique qu’« il est toujours possible de retenir, par simplification, z = 0,9 d », et il reprend la même possibilité pour les sections circulaires de pieux. Cette valeur place en sécurité pour le calcul des armatures d’effort tranchant et fournit, en flexion, un ordre de grandeur immédiatement exploitable en prédimensionnement.

La section d’acier tendu se déduit alors de As = MEd / (z × fyd). L’homogénéité des unités est le premier piège : avec MEd en kN.m, z en m et fyd converti en kN/m² (1 MPa = 1 000 kN/m²), le résultat sort directement en m², à multiplier par 10 000 pour obtenir des cm².

Enchaînement complet de la méthode

• 1. Établir les actions et les combinaisons selon l’Eurocode 0 et son annexe nationale, puis en déduire MEd.
• 2. Définir la classe d’exposition selon la NF EN 206/CN et les notes de l’annexe nationale au Tableau 4.1.
• 3. En déduire l’enrobage nominal, donc la hauteur utile d réellement disponible — c’est l’enrobage qui commande d, pas l’inverse.
• 4. Calculer la section d’armatures tendues à l’état limite ultime, à partir du bras de levier retenu.
• 5. Vérifier les sections minimale et maximale d’armatures et les dispositions constructives de la Section 9.
• 6. Vérifier l’effort tranchant associé, puis les états limites de service : ouverture de fissures et flèche.
• 7. Faire valider et signer la note de calcul par un bureau d’études structure.

Exemple 1 — Section d’acier d’une poutre en flexion simple

Hypothèses : moment de calcul MEd = 150 kN.m, poutre de largeur b = 0,25 m et de hauteur h = 0,50 m, hauteur utile posée à d = 0,45 m compte tenu de l’enrobage et de la position des barres.

Bras de levier simplifié, selon 6.2.1 - (V) du FD P18-717 : z = 0,9 × 0,45 = 0,405 m.

Contrainte de calcul de l’acier, avec fyk = 500 MPa (borne de 3.2.2 (3)P NOTE de l’annexe nationale) et γS = 1,15 (5.2 (7) a de la NF EN 1992-1-2) : fyd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa, soit 434 783 kN/m².

Section d’acier tendu : As = 150 / (0,405 × 434 783) = 150 / 176 087 = 8,52 × 10⁻⁴ m², soit 8,52 cm². Lecture : une variation de 10 mm sur d fait varier z de 9 mm, donc As d’environ 2 %. L’enrobage réellement obtenu sur chantier est donc une donnée de calcul, pas un détail d’exécution.

Exemple 2 — Moments d’une poutre continue par la méthode forfaitaire

Le FD P18-717 décrit, en 5.6.1 (3)P NOTE - Bâtiments - (I), une méthode simplifiée pour les planchers à charges d’exploitation modérées. Son domaine d’emploi est explicite : les rapports entre les portées successives sont compris entre 0,8 et 1,25, les charges G1 + Q sont inférieures à 7,5 kN/m² et les charges Q inférieures à 2 (G0 + G1), où G0 désigne le poids propre du plancher, G1 les autres charges permanentes et Q les charges variables.

Hypothèses de travail : G0 = 2,5 kN/m², G1 = 1,5 kN/m², Q = 2,0 kN/m². Vérification du domaine : G1 + Q = 3,5 kN/m² < 7,5 kN/m², et 2 (G0 + G1) = 2 × 4,0 = 8,0 kN/m² > 2,0 kN/m². La méthode est applicable.

Charge de calcul linéique posée arbitrairement à pu = 24,0 kN/m, portée libre entre nus l = 5,00 m. Moment isostatique de référence : M0 = pu l² / 8 = 24,0 × 25 / 8 = 75,0 kN.m.

Le FD impose des moments sur appuis au minimum égaux à 0,45 M0 pour les appuis intermédiaires d’une poutre continue à plus de deux travées, soit 0,45 × 75,0 = 33,75 kN.m ; à 0,55 M0 en béton armé pour les appuis voisins de rive, soit 0,55 × 75,0 = 41,25 kN.m ; et à 0,65 M0 en béton armé pour l’appui intermédiaire d’une poutre à deux travées, soit 0,65 × 75,0 = 48,75 kN.m.

En travée, le texte impose qu’il soit équilibré au moins 1,10 M0 pour les travées intermédiaires, soit 82,50 kN.m, et 1,15 M0 pour les travées de rive, soit 86,25 kN.m. Le FD ajoute que l’élancement L / d des dalles en béton armé est limité à 32.

Exemple 3 — Enrobage, hauteur utile et élancement d’une dalle

Hypothèses : dalle de plancher en local à l’abri de la pluie, portée L = 5,60 m, épaisseur h = 200 mm, armatures principales de diamètre 10 mm. Selon la Note 2 au Tableau 4.1 de l’annexe nationale, « les parties des bâtiments à l’abri de la pluie, que ceux-ci soient clos ou non, sont à classer en XC1 », sauf condensations importantes par leur fréquence et leur durée, qui relèvent alors de XC3.

Contrainte d’élancement du FD P18-717 : L / d ≤ 32 impose d ≥ 5,60 / 32 = 0,175 m, soit 175 mm de hauteur utile minimale.

Avec un enrobage nominal de 25 mm et des barres de 10 mm, la hauteur utile vaut d = 200 − 25 − 5 = 170 mm : la condition n’est pas satisfaite. Avec un enrobage nominal de 20 mm, d = 200 − 20 − 5 = 175 mm : la condition est tout juste satisfaite, puisque 5 600 / 175 = 32,0.

Ces 5 mm ne s’obtiennent pas en décidant de moins enrober. L’annexe nationale, en 4.4.1.3 (3) NOTE, les rend accessibles par la qualité d’exécution : « lorsque la réalisation est soumise à un système d’assurance qualité dans lequel la surveillance inclut des mesures de l’enrobage des armatures avant coulage du béton, il est possible de réduire la marge de calcul pour tolérance d’exécution, de sorte que 10 mm ≥ Δcdev ≥ 5 mm ». Elle va jusqu’à 10 mm ≥ Δcdev ≥ 0 lorsqu’un appareil de mesure très précis et le rejet des éléments non conformes sont garantis, cas des éléments préfabriqués. Sur cette dalle, c’est donc une clause de contrôle d’exécution, et non un calcul, qui décide si la section passe.

Textes de référence

• NF EN 1992-1-1 — Eurocode 2, calcul des structures en béton, partie 1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments.
• NF EN 1992-1-1/NA (P 18-711-1/NA) — annexe nationale française : coefficients partiels, enrobages, classes structurales, dispositions constructives.
• FD P18-717 — guide d’application des normes NF EN 1992 : méthodes admises, simplifications, réponses d’interprétation.
• NF EN 1992-1-2 (P 18-712-1) — calcul du comportement au feu, qui rappelle explicitement en 5.2 (7) la valeur du coefficient partiel de l’acier de béton armé.
• NF EN 206/CN — béton : spécification, performance, production et conformité, à laquelle l’annexe nationale renvoie en 4.1 (4).
• NF EN 1990 — Eurocode 0 et son annexe nationale, pour les combinaisons d’actions dont sort MEd.

Ce que l’annexe nationale française fixe explicitement

Sur l’enrobage, l’annexe nationale est particulièrement directive. En 4.4.1.2 (5) NOTE, « la classe structurale à utiliser pour les bâtiments et ouvrages de génie civil courants est S4 », les valeurs de cmin,dur étant celles recommandées par le Tableau 4.4N ; lorsqu’un élément relève de plusieurs classes d’exposition, on retient l’exigence la plus sévère. En 4.4.1.2 (7) et (8) NOTE, elle fixe Δcdur,st = 0 mm et Δcdur,add = 0 mm, et précise que « l’enrobage minimal ne peut être inférieur à cmin,b et à 10 mm ». En 4.4.1.3 (4) NOTE, elle donne k1 = 30 mm et k2 = 65 mm pour les fondations superficielles.

Elle attire aussi l’attention, dans la même note, « sur les problèmes de fissuration auxquels risque de conduire un enrobage cnom supérieur à 50 mm », et sur les difficultés de bétonnage lorsque cnom est inférieur au plus gros granulat. L’enrobage n’est donc pas une grandeur à maximiser par prudence.

Sur les dispositions constructives, elle fixe en 9.3.1.1 (3) NOTE l’espacement maximal des armatures de dalles : sous charges réparties, smax,slabs = 3h ≤ 400 mm pour les armatures principales et 3,5h ≤ 450 mm pour les secondaires ; sous charges concentrées, 2h ≤ 250 mm et 3h ≤ 400 mm respectivement. En 9.2.2 (6) NOTE, elle retient sl,max = 0,9d pour les poutres de hauteur h ≤ 250 mm.

Effort tranchant : des valeurs françaises identifiées

L’annexe nationale de la NF EN 1992-2 consacrée aux ponts explicite, en clause 6.2.2 (101) Note, des valeurs qu’elle déclare « conformes à l’annexe nationale de la norme NF EN 1992-1-1 » : CRd,c = 0,18 / γC et k1 = 0,15. Elle donne également vmin sous une forme différenciée par type d’élément : 0,34 / γC × fck^1/2 pour les dalles bénéficiant d’un effet de redistribution transversale sous le cas de charge considéré, 0,053 / γC × k^3/2 × fck^1/2 pour les poutres et les dalles autres que celles-ci, et 0,35 / γC × fck^1/2 pour les voiles.

Ces expressions restent fonction de γC, dont nous ne publions pas la valeur. Elles montrent en revanche qu’une dalle bénéficiant réellement d’une redistribution transversale ne se vérifie pas au cisaillement comme une poutre.

Ce que nous ne publions pas

Nous ne reproduisons ni γC, ni αcc pour béton courant, ni le Tableau 2.1N : l’annexe nationale y renvoie aux valeurs recommandées sans les réécrire, et le tableau ne figure pas dans les documents ouverts. Nous ne reproduisons pas davantage les Tableaux 4.3NF et 4.4N donnant cmin,dur, ni l’Expression (9.12N) : ces contenus sont présents sous forme d’images dans les fichiers consultés, et une valeur de tableau mal relevée serait aussi fautive qu’une valeur inventée.

Ce que cette page peut offrir reste entier : la structure de la méthode, l’unité de chaque variable, l’ordre des opérations, et les valeurs lues mot à mot dans une clause identifiée. Les autres se lisent dans la norme diffusée par l’AFNOR et s’engagent sous la responsabilité d’un bureau d’études structure.